arytmetyka cyfrowa
Wprowadzenie do pozycyjnych systemów liczbowych
System liczbowy to sposób zapisywania i odczytywania liczb. Dwa podstawowe rodzaje syste-1 mów liczbowych to:
• system addytywny - liczbę w nim zapisaną odczytuje się jako sumę wartości jej poszcze
gólnych cyfr, np. rzymski system liczbowy;
• system pozycyjny - o wartości cyfry decyduje jej miejsce w zapisie liczby; obecnie najczę
ściej stosowanymi pozycyjnymi systemami liczbowymi są: system dziesiętny używany
w życiu codziennym oraz system dwójkowy stosowany w systemach komputerowych.
Uściślijmy pojęcia: cyfra i liczba. Cyfrą (ang. digit) nazywamy umowny znak (symbol) służący do zapisywania liczby. Najbardziej rozpowszechnione są cyfry arabskie: O, l, 2,3,4,5,6,7,8,9. Liczba to podstawowe (a więc niedefiniowalne) pojęcie matematyki. Przez liczbę rozumiemy l ciąg cyfr o określonej wartości. Wartość ta może być różna w zależności od systemu liczbowego, w jakim liczba jest zapisana.
Podstawą systemu dziesiętnego jest liczba 10, będąca jednostką drugiego rzędu. Jednostką trze- j ciego rzędu jest liczba 100, czwartego rzędu - liczba 1000 itd. Jednostką pierwszego rzędu jest liczba 1. Ta sama cyfra ma w systemie dziesiętnym różne znaczenie w zależności od miejsca, na którym stoi w zapisie liczby
Wyznaczanie rozwinięcia dwójkowego liczby dziesiętnej:
Aby wyznaczyć postać dwójkową (zwaną rozwinięciem dwójkowym lub binarnym) liczby dziesiętnej, powtarzamy operację dzielenia całkowitego tej liczby przez dwa i zapisujemy wszystkie reszty z dzieleń, aż do otrzymania ilorazu mniejszego od dwóch. Rozwinięcie dwójkowe liczby to zapisane kolejno reszty z dzieleń (zaczynając od ostatniej).
Przykład
Obliczanie rozwinięcia dwójkowego liczby 1476.
|
Liczba |
Reszta |
Komentarz |
|
1476 |
0 |
1476=2*738+0 |
|
738 |
0 |
738=2*369+0 |
|
369 |
1 |
369=2*184+1 |
|
184 |
0 |
184=2*92+0 |
|
92 |
0 |
92=2*46+0 |
|
46 |
0 |
46=2*23+0 |
|
23 |
1 |
23=2*11+1 |
|
11 |
1 |
11=2*5+1 |
|
5 |
1 |
5=2*2+1 |
|
2 |
0 |
2=2*1+0 |
|
1 |
1 |
wynik mniejszy niż 2 - koniec |
Azatem:147610 = 101110001002
Ćwiczenie:
Jaki mamy teraz rok w systemie dwójkowym?
Wyznaczanie rozwinięcia szesnastkowego liczby dziesiętnej
Do zamiany z systemu szesnastkowego na system dziesiętny służy ten sam algorytm, z którego korzystaliśmy przy zamianie na system dwójkowy - z tą tylko różnicą, że dzielimy przez podstawę systemu, czyli liczbę 16, i zapisujemy reszty z dzieleń, aż do otrzymania ilorazu mniejszego niż 16.
Przykład
Zapisz szesnastkowo liczbę 1476.
|
Liczba |
Reszta |
Komentarz |
|
1476 |
4 |
1476=16*92+4 |
|
92 |
12(C) |
92=16*5+12 |
|
5 |
5 |
wynik mniejszy niż 16 - koniec |
Czytając od dołu, otrzymujemy: 147610 = 5C416
Ćwiczenie:
Ile masz lat w systemie szesnastkowym?
Zależność między systemem dwójkowym a szesnastkowym:
|
Wartość dziesiętna |
Wartość szesnastkowa |
Wartość dwójkowa |
|
0 |
0 |
0000 |
|
1 |
1 |
0001 |
|
2 |
2 |
0010 |
|
3 |
3 |
0011 |
|
4 |
4 |
0100 |
|
5 |
5 |
0101 |
|
6 |
6 |
0110 |
|
7 |
7 |
0111 |
|
8 |
8 |
1000 |
|
9 |
9 |
1001 |
|
10 |
A |
1010 |
|
11 |
B |
1011 |
|
12 |
C |
1100 |
|
13 |
D |
1101 |
|
14 |
E |
1110 |
|
15 |
F |
1111 |
Warto zapamiętać
• Wszelkie informacje (np. liczby, znaki alfanumeryczne) w komputerze zapamiętywane są w postaci binarnej.
• Systemem pozycyjnym nazywamy taki sposób prezentowania liczb, w którym wartość cyfry zależy od jej pozycji w ciągu cyfr określającym liczbę.
• Rozwinięcie dwójkowe (inaczej binarne) liczby to zapisanie liczby dziesiętnej w systemie dwójkowym, czyli za pomocą zer i jedynek.
Dla zainteresowanych
1. Napisz w języku Pascal program obliczający wartość dziesiętną wprowadzonej z klawiatury liczby
dwójkowej.
Uwaga: Jak musi być zapamiętana liczba dwójkowa?